Sunday, October 11, 2015

Coordinate polari e cartesiane... e come convertirle tra loro. (in italiano...)

Estratto e tradotto dal sito: http://www.mathsisfun.com/polar-cartesian-coordinates.html

Per individuare un punto su una mappa, su un grafico o comunque su un piano possiamo usare due sistemi principali:

Coordinate Cartesiane

Usando le coordinate cartesiane si individua un punto calcolando la distanza dall'origine nelle direzioni x e y:


Coordinate polari

Usando le coordinate polari si individua un punto calcolando la distanza dall'origine e l'angolo della distanza OP e l'asse X:





Conversioni
Per convertire da un sistema all'altro, occorre risolvere il triangolo:



Conversione delle coordinate da cartesiane a polari


Conoscendo la posizione di un punto in coordinate cartesiane (x,y) è possibile trovare le coordinate polari  (r,θ) usando la misura dei cateti x e y del triangolo.

Esempio: a cosa corrispondono le coordinate cartesiane (12,5) in coordinate polari?





Con il Teorema di Pitagora si può trovare l'ipotenusa:

r2 = 122 + 52
r = √ (122 + 52)
r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usando la funzione Tangente (e le tabelle di converisone angolo, coseno, seno e tangente) possiamo trovare l'angolo:

tan( θ ) = cateto x/cateto y = 5 / 12
θ = tan-1 ( 5 / 12 ) = 22.6° (to one decimal)

Soluzione: il punto di coordinate cartesiane (12,5) corrisponte a (13, 22.6°) in coordinate polari.

Le regole per convertire da coordinate cartesiane (x,y) a coordinate polari (r,θ) sono:
r = √ ( x2 + y2 )
θ = tan-1 ( y / x )


Conversione delle coordinate da polari a cartesiane

Conoscendo la posizione di un punto in coordinate polari cartesiane (r, θ) è possibile trovare le coordinate cartesiane  (x,y) usando l'ipotenusa e l'angolo.

Esempio: a cosa corrispondono le coordinate polari (13, 22.6°) in coordinate cartesiane?




Usando la funzione coseno per x:        cos( 22.6 °) = x / 13
                                                             x = 13 × cos( 22.6 °) = 13 × 0.923 = 12.002...
        
Usando la funzione seno per y:            sin( 22.6 °) = y / 13
                                                              y = 13 × sin( 22.6 °) = 13 × 0.391 = 4.996...

 Soluzione: il punto di coordinate polari (13, 22.6°)  corrisponde alle coordinate cartesiane (12, 5).

Le regole per convertire da coordinate polari (r,θ)  a coordinate cartesiane (x,y) sono:

x = r × cos( θ )
y = r × sin( θ )
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